Đề thi môn Toán vào lớp 10 sẽ có câu hỏi thuộc 2 chuyên đề Đại số và Hình học. Những kiến thức cần nhớ để thi vào lớp 10 môn toán theo chuyên đề Đại số gồm rút gọn và tính giá trị biểu thức, phương trình và hệ phương trình, hàm số,… Còn theo chuyên đề Hình học thì có hệ thức lượng trong tam giác vuông, góc và đường tròn, tứ giác nội tiếp,… Chi tiết sẽ được THCS & THPT FPT Hải Phòng chia sẻ trong bài viết sau. 

1. Kiến thức cần nhớ môn Toán chuyên đề Đại số

Dựa vào cấu trúc đề thi môn Toán của những năm trước, có thể thấy kiến thức trong đề giống nhau đến 70-80%. Từ kinh nghiệm đó kèm hướng dẫn từ thầy cô, các bạn học sinh có thể xác định những nhóm kiến thức trọng tâm cần tập trung ôn luyện ở chuyên đề Đại số. 

1.1. Rút gọn và tính giá trị biểu thức

Để làm câu hỏi rút gọn và tính giá trị biểu thức, các bạn cần nắm chắc định nghĩa về căn bậc hai, các quy tắc biến đổi căn thức, tính chất của phân số, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn biển thức.

Với biểu thức số học, các bạn cần tiến hành 2 bước cơ bản để rút gọn biểu thức:

• Tim nhân tử chung bằng cách phân tích tử và mẫu
• Rút gọn nhân tử chung.

Với biểu thức đại số, các bạn thực hiện các bước sau để rút gọn:

• Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
• Tìm điều kiện xác định
• Rút gọn từng phân thức
• Thực hiện các phép biến đổi đồng chất như:

• Quy đồng
• Bỏ ngoặc bằng cách nhân đơn, đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
• Thu gọn các hạng tử đồng dạng.
• Phân tích thành nhân tử – rút gọn.

Ví dụ: Cho biểu thức:

a/ Rút gọn P

b/ Tìm a để biểu thức P nhận giá trị nguyên

Giải:

Bài toán rút gọn và tính giá trị biểu thức trong đề thi vào lớp 10 môn Toán thường có các dạng như sau:

• Tìm điều kiện xác định của biểu thức

Ví dụ:

• Chứng minh biểu thức thoả mãn yêu cầu cho trước

Ví dụ: Cho x + 2y = 5, tính giá trị biểu thức 

Giải:

• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Giải:

1.2. Phương trình và hệ phương trình

Để giải phương trình và hệ phương trình, các bạn cần ôn kỹ kiến thức về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, phương trình bậc hai, phương trình, hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai, định lý Viét, giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.

Các dạng bài thuộc chuyên đề phương trình và hệ phương trình đều đều xoay quanh kiến thức cần ôn, cụ thể:

• Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất.
• Giải các dạng toán vận dụng định lý Viet.
• Tìm nghiệm của phương trình bậc hai theo công thức.
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình (hoặc hệ phương trình), đưa về phương trình bậc hai một ẩn hoặc hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn.

Ví dụ: Áp dụng phương pháp thế để giải các hệ phương trình sau: 

1.3. Hàm số và đồ thị

Các bạn cần ôn tập kiến thức về hàm số y = ax + b và hàm số y =  cx2. Phần kiến thức yêu cầu kĩ năng nhận biết và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, xác định các yếu tố có liên quan đến tính chất và đồ thị hai hàm số trên.

Đề thi môn Toán vào lớp 10 thường ra các câu hỏi dạng:

• Vẽ đồ thị hàm số với a, b, c là số nguyên.
• Lập phương trình đường thẳng theo các điều kiện cho trước.
• Xác định giao điểm đồ thị hai hàm số bằng giải phương trình bậc hai đơn giản (có 1 nghiệm nguyên).

Ví dụ:  Vẽ đồ thị các hàm số y = 2x + 1 và xác định hệ số góc.

Giải: Xét hàm số y = 2x + 1.

+ Với x = 0 thì y = 2.0 + 1 = 1.

+ Với x = -1 ⇒ y = -1 .

Vậy đồ thị hàm số y = 2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 1) và B(-1;1) .

Đồ thị có dạng:

1.4. Lập phương trình

Lập phương trình là kiến thức cơ bản rất quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 9 vì được áp dụng vào nhiều dạng bài tập về chuyển động, hình học, xác suất, vật lý, hoá học, bài toán thực tế.

Để giải bài toán yêu cầu lập phương trình, các bạn cần ghi nhớ các bước sau:

• Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn.
• Lập phương trình dựa vào các dữ kiện đã có.
• Giải phương trình
• Chọn các nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn và kết luận.

Ví dụ: ​​Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đó hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?

Giải:

2. Kiến thức cần nhớ môn Toán chuyên đề Hình học

Nếu muốn đạt được kiểm khá giỏi trong bài thi môn Toán vào lớp 10, các em học sinh phải làm được câu hỏi Toán hình. Dưới đây là hệ thống kiến thức quan trọng kèm những dạng bài thường xuất hiện, được chọn lọc từ đề thi của các tỉnh, thành phố trên cả nước các năm trước.

2.1. Lý thuyết quan trọng cần nhớ

Với chuyên đề Hình học, các bạn học sinh cần học thuộc các định lí hệ thức lượng trong tam giác vuông, định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, góc và đường tròn.

• Hệ thức lượng trong tam giác vuông

• Hệ thức lượng cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH:
  • b² = ab’ ; c² = ac’
  • h² = b’c’
  • ah = bc
  • b² + c² = a² (Định lí Pytago)
  • 1/h² = 1/b² +1/c²

• Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông ABC, góc nhọn α (0°< α <90°):

• Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

• • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề.
  • Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cot góc kề.

• Góc và đường tròn

Kiến thức về góc và đường tròn cần học xoay quanh quan hệ vuông góc giữa đường kính cà dây, liên hệ giữa đường kính và dây cung, dây cung và khoảng cách đến tâm, tính chất và các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn, các góc nội tiếp và cung chắn, các tính độ dài đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn và diện tích hình quạt tròn.

2.2. Dạng bài thường gặp cần nhớ

Dưới đây là những dạng bài tập quen thuộc mà các bạn học sinh dễ gặp trong đề thi Toán vào lớp 10.

• Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp nội tiếp đường tròn là tứ giác có 4 điểm nằm trên một đường tròn.

Cách giải bài toán về tứ giác nội tiếp như sau: 

• Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cùng nằm trên một đường tròn.
• Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bất kì bằng 180 độ.
• Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dưới cùng một góc.
• Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều tâm, khoảng cách bằng bán kính đường tròn.

Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định nằm ngoài (O;R). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O;R) (A, B là các tiếp điểm). Đường thẳng (d) bất kì qua M và cắt (O;R) tại hai điểm phân biệt C, D ( C nằm giữa M và D). Gọi N là giao điểm của AB và CD. Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn.

• Chứng minh tứ giác đã cho là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi,…

Để chứng một tứ giác là hình bình hành, hình chữ nhật hoặc hình thoi, các bạn dựa vào những dấu hiệu nhận biết.

• Một tứ giác là hình bình hành khi:

• • Có các cạnh đối song song.
  • Có các cạnh đối bằng nhau.
  • Có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
  • Có các góc đối bằng nhau.

• Một tứ giác là hình hình chữ nhật khi:

• • Có ba góc vuông.
  • Hình thang cân có một góc vuông.
  • Hình bình hành có một góc vuông.
  • Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

• Một tứ giác là hình thoi khi:

• • Có 4 cạnh bằng nhau.
  • Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
  • Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc nhau.
  • Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của 1 góc.

Ví dụ: Cho đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M , N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại H và K. Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi.

Giải:

• Tiếp tuyến của đường tròn: Có 2 cách để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn:

• • Chứng minh đường tròn và đường thẳng có duy nhất 1 điểm chung.
  • Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính đường tròn tại tiếp điểm.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm D và E. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng CD và BE.

1. a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này
2. b) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Giải:

• Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Ba điểm thẳng hàng được chứng minh bằng phương pháp:

• • Chứng minh hai đường thẳng đi qua hai trong 3 điểm ấy và cùng vuông góc với đường đường thẳng thứ ba.
  • Sử dụng hai góc kề bù có 3 điểm nằm trên hai tia đối nhau.
  • Sử dụng tính chất đường phân giác của một góc.
  • Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
  • Sử dụng tính chất ba đường cao trong tam giác.

Ví dụ: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Một điểm M cố định  thuộc đoạn thẳng OB (M khác B và M khác O). Đường thẳng d vuông góc  với AB tại M cắt nửa đường tròn đã cho tại N. Trên cung NB lấy điểm E  bất kì (E khác B và E khác N). Tia BE cắt đường thẳng d tại C, đường  thẳng AC cắt nửa đường tròn tại D. Gọi H là giao điểm của AE và đường  thẳng d. 

1. a) Chứng minh tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn 
2. b) Chứng minh 3 điểm B, D, H thẳng hàng

Giải:

 

• Chứng minh tỉ lệ độ dài đoạn thẳng

Khi tìm được mối liên hệ giữa các độ dài đoạn thẳng, bạn sẽ suy ra được tỉ lệ độ dài tương ứng để chứng minh. 

Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm và I, K lần lượt là đường cao kẻ từ đỉnh A, B của tam giác ABC (I ∈ BC, K ∈ AC). Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ HJ vuông góc với AM (J ∈ AM). Chứng minh rằng MJ.MA < R2

Giải:

Bài viết trên đây đã tổng hợp lại một số kiến thức cần nhớ để thi vào lớp 10 môn toán theo chuyên đề Đại số và Hình học. Bên cạnh đó, bài viết cũng bổ sung những dạng bài thường xuất hiện trong đề thi theo từng chuyên đề dựa vào đề thi những năm trước.

Nếu tham gia kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 theo phương thức thi tuyển thông thường, phần kiến thức dành cho môn Toán sẽ khá nặng. Kiến thức mà bài viết trên đã hệ thống chỉ là một phần nhỏ trong rất nhiều bài học mà các em cần ghi nhớ, thực hành. 

Hiểu rõ gánh nặng thi cử của các sĩ tử, bên cạnh việc xét điểm thi vào lớp 10 do thành phố Hải Phòng tổ chức, trường THCS và THPT FPT Hải Phòng triển khai thực hiện thêm hai phương án xét tuyển nữa là xét học bạ THCS và thành tích học tập để tuyển sinh khối 10 THPT.

• Xét học bạ: Các em học sinh xếp loại hạnh kiểm từ Khá trở lên trong tất cả các năm học THCS và có tổng điểm trung bình 3 môn Toán, Ngữ Văn, Ngoại ngữ từ 55 trở lên liên tục trong 3 kỳ liên tiếp (lớp 8, lớp) sẽ đạt điều kiện xét tuyển.
• Xét tuyển dựa vào thành tích học tập: Các em cần có hạnh kiểm từ loại Khá trở lên trong suốt quá trình học bậc THCS và đạt thành tích học tập khác như đạt giải cấp quốc gia trở lên về văn nghệ, thể dục, khoa học công nghệ trong năm lớp 9, đạt giải khuyến khích trở lên trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 9i từ cấp quận, huyện trở lên.

*

Tuyển sinh bằng hình thức xét tuyển sẽ giúp học sinh giảm bớt áp lực thi cử, không cần vất vả ôn luyện khối lượng kiến thức Toán tương đối lớn một cách gấp rút. Song, điều này không có nghĩa là các em quên đi nhiệm vụ trau dồi kiến thức, kỹ năng môn Toán. Bởi lẽ, những kiến thức cần nhớ để thi vào lớp 10 môn Toán và các kỹ năng tính toán, suy luận vẫn rất có ích khi các em chính thức bước vào lớp 10, bất kể ở trường công lập hay dân lập.